Une introduction à la convergence d’espaces métriques mesurés

Nous noterons Vǫ(A) le ǫ-voisinage ouvert d’une partie A d’un espace métrique. Une partie A d’un espace métrique X est ǫ-dense si Vǫ(A) = X, i.e. si tout point de x est à distance strictement inférieure à ǫ d’au moins un point de A. Si A et B sont deux parties d’un espace métrique (X, δ), la distance de Hausdorff entre A et B, notée dHau(A,B) (ou dHau, δ(A,B) pour indiquer la dépendance en la distance δ), est la borne inférieure des ǫ > 0 tels que A ⊂ Vǫ(B) et B ⊂ Vǫ(A). Nous noterons πX , πY les projections canoniques du produit X × Y dans X et Y . Le reste de l’introduction consiste en des remarques sur la définition des ensembles Dis1 et MM1. Remarques. (1) Nous noterons de la même manière un élément de Dis1 et l’un de ses représentants. Lorsque le besoin s’en fera sentir, nous noterons dX la distance d’un élément X de Dis1. L’hypothèse de diamètre au plus égal à 1 peut être facilement obtenue en normalisant la distance d’un espace métrique compact non vide.